제어 공학 튜토리얼 : Control Tutorials - Introduction system modeling (동적 시스템이란?, 상태공간표현식?(State-Space Representation)

제어 설계 프로세스의 첫 번째 단계는 제어할 시스템을 적절하게 모델링 하는 것이다.

이러한 모델은 물리 법칙이나 실험적 데이터를 통해 얻어 질수 있음

이번 장에서는 동적 시스템(dynamic system)의 상태 공간 방정식(state-space function) 및 전달함수(transfer function)에 대해 소개 할 것이다.

그런 다음 기계 및 전기 시스템 모델링에 대한 몇 가지 기본 접근 방식을 검토하고 추가 분석을 위해 MATLAB에서 이러한 모델을 생성하는 방법을 보여주도록 하겠다.

 

동적 시스템(Dynamic Systems)

- 동적 시스템이란??

시스템이 정형화된 수식의 형태로 구성 되어 있고 그 수식이 시간이 지남에 따라 변하는 것을 동적시스템이라고 한다.

많은 물리 시스템을 아래와 같은 1차 미분 방정식의 형태로 정의 할수 있다. 

 

제어 공학 동적 시스템

위의 방정식에서 X(t)는 시간 t에서 시스템의 구성을 나타내는 변수 집합인 상태 벡터(state vector)이다. 예를 들어, 단순한 기계적 질량-스프링-댐퍼 시스템에서 두 가지 상태 변수는 질량의 위치와 속도가 될 수 있다.

u(t)는 시간 t에서 시스템에 대한 외부 입력의 벡터이고 f는 특정 시간 동안 상태 벡터 dx/dt의 시간 도함수(변화율)를 생성하는 (비선형일 수 있는) 함수이다.

x(t1)의 상태는 초기 상태 x(t0)에 대한 정보와 t0과 t1 시간 사이에 들어오는 입력 u(t)에 대한 정보가 주어졌을 때 해당 정보와 위 미분 방정식을 적분하여 알수 있다.

 

주어진 시스템의 상태를 모델링 하기 위한 최소 변수수 n이 존재 하며 n은 시스템의 차수(system order) 및 상태 공간(state space)의 차원을 결정함

 

위에 정의한 1차 미분 방정식의 경우 매우 일반화된 형태라 해당 식을 활용하여 모델링 할 경우 모든 시스템을 시간에 따라 변하고 비선형인 형태로 모델링 해야 해서 분석하기 어렵다. 따라서 2가지 일반화 작업을 선행 된다.

 

1. 함수 f가 시간 따라 변하지 않는 경우 즉 dx/dt = f(x,u) 일 경우라면 시불변 시스템으로 정의 한다.

-  일반적인 기본 물리 법치 자체가 시간에 따라 변하지 않기 때문에 이것은 어느 정도는 합리적인 가정이다.

- 시불변 시스템이라면 f의 계수는 상수 값을 가진다. 이때 상태 변수 x(t) 및 제어 입력 u(t)는 시간에 따라 변할수 있다.

 

2. 실제로 거의 모든 물리적 시스템은 비선형 이지만 시스템을 선형시스템이라고 생각한다.

- 다양한 제어 시스템에서 비선형성을 확인 할수 있는데 대표적인 예가 물리적인 한계에 도달 했을때 포화가 일어남

- 다행히 충분히 작은 작동 범위(곡선 근처의 접선을 생각하면 됨)에서는 대부분의 시스템은 선형이다.

 

이 2가지 일반화를 통해 시불변 선형시스템(LTI : Linear Time-Invariant)이라 정의 하고 위 1차 미분 방정식을 아래와 같이 재정의 할수 있다.

 

상태공간표현식(State-Space Representation)

시불변 선형(LTI)시스템에서 정형화된 상태공간 표현식(State-Space Representation)은 아래와 같다.

여기서 X는 상태 변수 (nx1), dot_X는 상태 변수 X의 미분 취한 것(nx1), u는 입력 벡터(px1), y는 출력 벡터(qx1), A는 시스템 행렬 (nxn), B는 입력 행렬(nxp), C는 출력 행렬(qxn), D는 피드포워드 행렬(qxp)이다.

 

출력 방정식 (Y = CX + Du)는  상태변수 X를 관측 하기 위해 필요 하며 C 행령을 어떻게 구성하느냐에 따라 특정 관심있는 상태 변수 만을 모니터링 할수도 있다.

 

또한 출력이 입력에 직접적으로 영향을 받지 않는 경우 D는 0행렬이다.

 

상태공간표현식은 위 1차 미분 방정식을 통해 다중 입력/ 다중 출력(MIMO : multi-input/multi-output) 시스템, 초기 조건이 0이 아닌 시스템 및 비선형 시스템을 쉽게 표현할수 있다.

 

결과적으로 상태 공간 표혀은 현대 제어 이론에서 광범위하게 사용 된다.